因数分解の公式

{
"meta": {
"subjectId": "math",
"grade": "中学3年",
"field": "多項式",
"unit": "因数分解の公式",
"level": "標準",
"drillId": "math-3a004a"
},
"cards": [
{
"id": "1",
"front": {
"title": "和と積を同時に合わせる",
"text": "例：$x^{2}-3x-18$。和が$-3$、積が$-18$となる二数は$-6,3$。\n$x^{2}-3x-18=(x-6)(x+3)$。公式$x^{2}+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$を逆に使います。"
},
"back": {
"title": "和と積を同時に合わせる",
"text": "$x^{2}+x-12$では二数の和は{blank:1}、積は{blank:2}、因数分解は{blank:3}です。",
"answers": [
"$1$",
"$-12$",
"$(x+4)(x-3)$"
] }
},
{
"id": "2",
"front": {
"title": "平方の差を見つける",
"text": "例：$9a^{2}-16b^{2}=(3a)^{2}-(4b)^{2}=(3a+4b)(3a-4b)$。公式$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$。平方の和にはこの公式は使えません。"
},
"back": {
"title": "平方の差を見つける",
"text": "$4x^{2}-25$の二乗の元は{blank:1}と{blank:2}。因数分解は{blank:3}です。",
"answers": [
"$2x$",
"$5$",
"$(2x+5)(2x-5)$"
] }
},
{
"id": "3",
"front": {
"title": "中央項で完全平方を確かめる",
"text": "例：$x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}$。最初と最後が二乗、中央項が$-2×x×3$です。\n$a^{2}±2ab+b^{2}=(a±b)^{2}$。中央項の符号を見ます。"
},
"back": {
"title": "中央項で完全平方を確かめる",
"text": "$4x^{2}+12x+9$の中央項は二倍の積{blank:1}。因数分解は{blank:2}です。",
"answers": [
"$2×2x×3$",
"$(2x+3)^{2}$"
] }
},
{
"id": "4",
"front": {
"title": "共通因数を先にくくる",
"text": "例：$2x^{2}-18=2(x^{2}-9)=2(x+3)(x-3)$。くくった中で公式を使い、展開して係数も確かめます。因数の順が違っても積は同じです。"
},
"back": {
"title": "共通因数を先にくくる",
"text": "$3x^{2}-12$は共通因数を出すと{blank:1}。さらに{blank:2}です。",
"answers": [
"$3(x^{2}-4)$",
"$3(x+2)(x-2)$"
] }
}
],
"questions": [
{
"id": "1",
"type": "choice",
"label": "和と積による因数分解",
"question": "$x^{2} + 7 x + 10$を因数分解しなさい。",
"choices": [
"$(x+2)(x+5)$",
"$(x-2)(x-5)$",
"$(x+2)(x-5)$",
"$(x-2)(x+5)$"
],
"hint": "二数の和と積の両方を合わせます。",
"explanation": "和$7$、積$10$になる二数は$2$と$5$です。"
},
{
"id": "2",
"type": "choice",
"label": "和と積による因数分解",
"question": "$x^{2} - x - 12$を因数分解しなさい。",
"choices": [
"$(x+3)(x-4)$",
"$(x-3)(x+4)$",
"$(x+3)(x+4)$",
"$(x-3)(x-4)$"
],
"hint": "二数の和と積の両方を合わせます。",
"explanation": "和$-1$、積$-12$になる二数は$3$と$-4$です。"
},
{
"id": "3",
"type": "choice",
"label": "和と積による因数分解",
"question": "$x^{2} - 7 x + 10$を因数分解しなさい。",
"choices": [
"$(x-2)(x-5)$",
"$(x+2)(x+5)$",
"$(x-2)(x+5)$",
"$(x+2)(x-5)$"
],
"hint": "二数の和と積の両方を合わせます。",
"explanation": "和$-7$、積$10$になる二数は$-2$と$-5$です。"
},
{
"id": "4",
"type": "choice",
"label": "和と積による因数分解",
"question": "$x^{2} + 7 x + 6$を因数分解しなさい。",
"choices": [
"$(x+1)(x+6)$",
"$(x-1)(x-6)$",
"$(x+1)(x-6)$",
"$(x-1)(x+6)$"
],
"hint": "二数の和と積の両方を合わせます。",
"explanation": "和$7$、積$6$になる二数は$1$と$6$です。"
},
{
"id": "5",
"type": "choice",
"label": "和と積による因数分解",
"question": "$x^{2} + 2 x - 15$を因数分解しなさい。",
"choices": [
"$(x-3)(x+5)$",
"$(x+3)(x-5)$",
"$(x-3)(x-5)$",
"$(x+3)(x+5)$"
],
"hint": "二数の和と積の両方を合わせます。",
"explanation": "和$2$、積$-15$になる二数は$-3$と$5$です。"
},
{
"id": "6",
"type": "choice",
"label": "和と積による因数分解",
"question": "$x^{2} - 2 x - 24$を因数分解しなさい。",
"choices": [
"$(x+4)(x-6)$",
"$(x-4)(x+6)$",
"$(x+4)(x+6)$",
"$(x-4)(x-6)$"
],
"hint": "二数の和と積の両方を合わせます。",
"explanation": "和$-2$、積$-24$になる二数は$4$と$-6$です。"
},
{
"id": "7",
"type": "choice",
"label": "平方の差",
"question": "$1x^{2}-25$を因数分解しなさい。",
"choices": [
"$(1x+5)(1x-5)$",
"$(1x-5)^{2}$",
"$(1x+5)^{2}$",
"$(1x+25)(1x-25)$"
],
"hint": "二つの二乗の差です。",
"explanation": "二乗の元は$1x$と$5$。和と差の積に直します。"
},
{
"id": "8",
"type": "choice",
"label": "平方の差",
"question": "$4x^{2}-9$を因数分解しなさい。",
"choices": [
"$(2x+3)(2x-3)$",
"$(2x-3)^{2}$",
"$(2x+3)^{2}$",
"$(2x+9)(2x-9)$"
],
"hint": "二つの二乗の差です。",
"explanation": "二乗の元は$2x$と$3$。和と差の積に直します。"
},
{
"id": "9",
"type": "choice",
"label": "平方の差",
"question": "$9x^{2}-16$を因数分解しなさい。",
"choices": [
"$(3x+4)(3x-4)$",
"$(3x-4)^{2}$",
"$(3x+4)^{2}$",
"$(3x+16)(3x-16)$"
],
"hint": "二つの二乗の差です。",
"explanation": "二乗の元は$3x$と$4$。和と差の積に直します。"
},
{
"id": "10",
"type": "choice",
"label": "完全平方",
"question": "$x^{2} + 8 x + 16$を因数分解しなさい。",
"choices": [
"$(1x+4)^{2}$",
"$(1x-4)^{2}$",
"$1x^{2}+16$",
"$(1x+4)(1x-4)$"
],
"hint": "中央項が二倍の積と一致するかを確認します。",
"explanation": "中央項は$8 x$なので、$(1x+4)^{2}$です。"
},
{
"id": "11",
"type": "choice",
"label": "完全平方",
"question": "$4 x^{2} - 12 x + 9$を因数分解しなさい。",
"choices": [
"$(2x-3)^{2}$",
"$(2x+3)^{2}$",
"$4x^{2}+9$",
"$(2x+3)(2x-3)$"
],
"hint": "中央項が二倍の積と一致するかを確認します。",
"explanation": "中央項は$- 12 x$なので、$(2x-3)^{2}$です。"
},
{
"id": "12",
"type": "choice",
"label": "完全平方",
"question": "$9 x^{2} + 12 x + 4$を因数分解しなさい。",
"choices": [
"$(3x+2)^{2}$",
"$(3x-2)^{2}$",
"$9x^{2}+4$",
"$(3x+2)(3x-2)$"
],
"hint": "中央項が二倍の積と一致するかを確認します。",
"explanation": "中央項は$12 x$なので、$(3x+2)^{2}$です。"
},
{
"id": "13",
"type": "choice",
"label": "完全平方",
"question": "$x^{2} - 10 x + 25$を因数分解しなさい。",
"choices": [
"$(1x-5)^{2}$",
"$(1x+5)^{2}$",
"$1x^{2}+25$",
"$(1x+5)(1x-5)$"
],
"hint": "中央項が二倍の積と一致するかを確認します。",
"explanation": "中央項は$- 10 x$なので、$(1x-5)^{2}$です。"
},
{
"id": "14",
"type": "solutionSequence",
"label": "共通因数と平方の差",
"question": "$2x^{2}-32$を因数分解しなさい。途中式を順に選びなさい。",
"expression": "$2x^{2}-32$",
"steps": [
{
"id": "1",
"expression": "$2x^{2}-32$",
"prompt": "共通因数でくくった式を選びなさい。",
"choices": [
"$2(x^{2}-16)$",
"$2(x^{2}-32)$",
"$2x(x-16)$",
"$(2x)^{2}-16$"
],
"hint": "両方の項に共通する数を先にくくります。",
"explanation": "2でくくると$2(x^{2}-16)$です。"
},
{
"id": "2",
"expression": "$2(x^{2}-16)$",
"prompt": "平方の差を使った式を選びなさい。",
"choices": [
"$2(x+4)(x-4)$",
"$2(x-4)^{2}$",
"$(x+8)(x-8)$",
"$2(x+16)(x-16)$"
],
"hint": "$16=4^{2}$です。",
"explanation": "$x^{2}-4^{2}=(x+4)(x-4)$です。"
}
],
"hint": "共通因数でくくってから平方の差を使います。",
"explanation": "一度で最終形へ飛ばさず、使う公式を確認します。"
},
{
"id": "15",
"type": "solutionSequence",
"label": "共通因数と平方の差",
"question": "$3x^{2}-75$を因数分解しなさい。途中式を順に選びなさい。",
"expression": "$3x^{2}-75$",
"steps": [
{
"id": "1",
"expression": "$3x^{2}-75$",
"prompt": "共通因数でくくった式を選びなさい。",
"choices": [
"$3(x^{2}-25)$",
"$3(x^{2}-75)$",
"$3x(x-25)$",
"$(3x)^{2}-25$"
],
"hint": "両方の項に共通する数を先にくくります。",
"explanation": "3でくくると$3(x^{2}-25)$です。"
},
{
"id": "2",
"expression": "$3(x^{2}-25)$",
"prompt": "平方の差を使った式を選びなさい。",
"choices": [
"$3(x+5)(x-5)$",
"$3(x-5)^{2}$",
"$(x+15)(x-15)$",
"$3(x+25)(x-25)$"
],
"hint": "$25=5^{2}$です。",
"explanation": "$x^{2}-5^{2}=(x+5)(x-5)$です。"
}
],
"hint": "共通因数と平方の差を順に使います。",
"explanation": "最後まで因数分解します。"
}
] }