式の利用

{
"meta": {
"subjectId": "math",
"grade": "中学3年",
"field": "多項式",
"unit": "式の利用",
"level": "標準",
"drillId": "math-3a005a"
},
"cards": [
{
"id": "1",
"front": {
"title": "近い数の積を平方の差で",
"text": "例：$103×97=(100+3)(100-3)=100^{2}-3^{2}=9991$。基準の数から同じだけ大きい数と小さい数の積は平方の差で計算できます。"
},
"back": {
"title": "近い数の積を平方の差で",
"text": "$52×48$は{blank:1}と表せます。平方の差は{blank:2}、答えは{blank:3}です。",
"answers": [
"$(50+2)(50-2)$",
"$50^{2}-2^{2}$",
"$2496$"
] }
},
{
"id": "2",
"front": {
"title": "整理してから代入する",
"text": "例：$x=7$のとき$(x+3)^{2}-(x-3)^{2}$。展開すると$x^{2}+6x+9-(x^{2}-6x+9)=12x$。代入して84です。先に整理すると計算が軽くなります。"
},
"back": {
"title": "整理してから代入する",
"text": "$x=5$のとき$(x+2)^{2}-(x-2)^{2}$は整理すると{blank:1}、値は{blank:2}です。",
"answers": [
"$8x$",
"$40$"
] }
},
{
"id": "3",
"front": {
"title": "整数の性質を文字で説明する",
"text": "連続する整数を$n,n+1$（$n$は整数）と表します。二乗の差は$(n+1)^{2}-n^{2}=2n+1$。$2n+1$は奇数の形なので、どの連続する整数でも差は奇数です。数例だけでは全ての場合の証明になりません。"
},
"back": {
"title": "整数の性質を文字で説明する",
"text": "整数$n$に対して$(n+2)^{2}-n^{2}$を展開すると{blank:1}。4でくくると{blank:2}なので、4の倍数です。",
"answers": [
"$4n+4$",
"$4(n+1)$"
] }
},
{
"id": "4",
"front": {
"title": "面積の差と長さの条件",
"text": "一辺が$a+b$と$a-b$の正方形を考えます。ただし$a>b>0$。面積差は$(a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab$です。長さの正の条件を保って面積を考えます。",
"visual": {
"kind": "geometry",
"points": [
{
"id": "A",
"x": 50,
"y": 50,
"showLabel": false
},
{
"id": "B",
"x": 230,
"y": 50,
"showLabel": false
},
{
"id": "C",
"x": 230,
"y": 230,
"showLabel": false
},
{
"id": "D",
"x": 50,
"y": 230,
"showLabel": false
}
],
"polygons": [
{
"points": [
"A",
"B",
"C",
"D"
] }
],
"labels": [
{
"x": 140,
"y": 30,
"text": "a+b"
},
{
"x": 248,
"y": 140,
"text": "a+b"
}
],
"alt": "長方形。辺の条件は本文に示す。"
}
},
"back": {
"title": "面積の差と長さの条件",
"text": "一辺が$x+2$と$x-2$の正方形（$x>2$）。面積差は整理すると{blank:1}。$x=6$のとき{blank:2}です。",
"answers": [
"$8x$",
"$48$"
],
"visual": {
"kind": "geometry",
"points": [
{
"id": "A",
"x": 50,
"y": 50,
"showLabel": false
},
{
"id": "B",
"x": 230,
"y": 50,
"showLabel": false
},
{
"id": "C",
"x": 230,
"y": 230,
"showLabel": false
},
{
"id": "D",
"x": 50,
"y": 230,
"showLabel": false
}
],
"polygons": [
{
"points": [
"A",
"B",
"C",
"D"
] }
],
"labels": [
{
"x": 140,
"y": 30,
"text": "x+2"
},
{
"x": 248,
"y": 140,
"text": "x+2"
}
],
"alt": "長方形。辺の条件は本文に示す。"
}
}
}
],
"questions": [
{
"id": "1",
"type": "solutionSequence",
"label": "乗法公式の利用",
"question": "$53×47$を乗法公式を使って計算しなさい。途中式を順に選びなさい。",
"expression": "$53×47$",
"steps": [
{
"id": "1",
"expression": "$53×47$",
"prompt": "和と差の積になる表し方を選びなさい。",
"choices": [
"$(50+3)(50-3)$",
"$(50+3)^{2}$",
"$(50-3)^{2}$",
"$53×47$"
],
"hint": "基準となる数から同じだけ大きい数・小さい数に分けます。",
"explanation": "$53×47$は$(50+3)(50-3)$と表せます。"
},
{
"id": "2",
"expression": "$(50+3)(50-3)$",
"prompt": "平方の差を使った式を選びなさい。",
"choices": [
"$50^{2}-3^{2}$",
"$2500-9$",
"$50^{2}+3^{2}$",
"$2500+9$"
],
"hint": "$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$を使います。",
"explanation": "$50^{2}-3^{2}$です。"
},
{
"id": "3",
"expression": "$50^{2}-3^{2}$",
"prompt": "計算結果を選びなさい。",
"choices": [
"$2491$",
"$2493$",
"$2489$",
"$2501$"
],
"hint": "平方を計算して差を求めます。",
"explanation": "$2500-9$=$2491$です。"
}
],
"hint": "和と差の積の形に直してから計算します。",
"explanation": "乗法公式を利用すると大きな数の積も途中式を追って計算できます。"
},
{
"id": "2",
"type": "solutionSequence",
"label": "乗法公式の利用",
"question": "$104×96$を乗法公式を使って計算しなさい。途中式を順に選びなさい。",
"expression": "$104×96$",
"steps": [
{
"id": "1",
"expression": "$104×96$",
"prompt": "和と差の積になる表し方を選びなさい。",
"choices": [
"$(100+4)(100-4)$",
"$(100+4)^{2}$",
"$(100-4)^{2}$",
"$104×96$"
],
"hint": "基準となる数から同じだけ大きい数・小さい数に分けます。",
"explanation": "$104×96$は$(100+4)(100-4)$と表せます。"
},
{
"id": "2",
"expression": "$(100+4)(100-4)$",
"prompt": "平方の差を使った式を選びなさい。",
"choices": [
"$100^{2}-4^{2}$",
"$10000-16$",
"$100^{2}+4^{2}$",
"$10000+16$"
],
"hint": "$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$を使います。",
"explanation": "$100^{2}-4^{2}$です。"
},
{
"id": "3",
"expression": "$100^{2}-4^{2}$",
"prompt": "計算結果を選びなさい。",
"choices": [
"$9984$",
"$9986$",
"$9982$",
"$9994$"
],
"hint": "平方を計算して差を求めます。",
"explanation": "$10000-16$=$9984$です。"
}
],
"hint": "和と差の積の形に直してから計算します。",
"explanation": "乗法公式を利用すると大きな数の積も途中式を追って計算できます。"
},
{
"id": "3",
"type": "solutionSequence",
"label": "乗法公式の利用",
"question": "$32×28$を乗法公式を使って計算しなさい。途中式を順に選びなさい。",
"expression": "$32×28$",
"steps": [
{
"id": "1",
"expression": "$32×28$",
"prompt": "和と差の積になる表し方を選びなさい。",
"choices": [
"$(30+2)(30-2)$",
"$(30+2)^{2}$",
"$(30-2)^{2}$",
"$32×28$"
],
"hint": "基準となる数から同じだけ大きい数・小さい数に分けます。",
"explanation": "$32×28$は$(30+2)(30-2)$と表せます。"
},
{
"id": "2",
"expression": "$(30+2)(30-2)$",
"prompt": "平方の差を使った式を選びなさい。",
"choices": [
"$30^{2}-2^{2}$",
"$900-4$",
"$30^{2}+2^{2}$",
"$900+4$"
],
"hint": "$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$を使います。",
"explanation": "$30^{2}-2^{2}$です。"
},
{
"id": "3",
"expression": "$30^{2}-2^{2}$",
"prompt": "計算結果を選びなさい。",
"choices": [
"$896$",
"$898$",
"$894$",
"$906$"
],
"hint": "平方を計算して差を求めます。",
"explanation": "$900-4$=$896$です。"
}
],
"hint": "和と差の積の形に直してから計算します。",
"explanation": "乗法公式を利用すると大きな数の積も途中式を追って計算できます。"
},
{
"id": "4",
"type": "solutionSequence",
"label": "乗法公式の利用",
"question": "$85×75$を乗法公式を使って計算しなさい。途中式を順に選びなさい。",
"expression": "$85×75$",
"steps": [
{
"id": "1",
"expression": "$85×75$",
"prompt": "和と差の積になる表し方を選びなさい。",
"choices": [
"$(80+5)(80-5)$",
"$(80+5)^{2}$",
"$(80-5)^{2}$",
"$85×75$"
],
"hint": "基準となる数から同じだけ大きい数・小さい数に分けます。",
"explanation": "$85×75$は$(80+5)(80-5)$と表せます。"
},
{
"id": "2",
"expression": "$(80+5)(80-5)$",
"prompt": "平方の差を使った式を選びなさい。",
"choices": [
"$80^{2}-5^{2}$",
"$6400-25$",
"$80^{2}+5^{2}$",
"$6400+25$"
],
"hint": "$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$を使います。",
"explanation": "$80^{2}-5^{2}$です。"
},
{
"id": "3",
"expression": "$80^{2}-5^{2}$",
"prompt": "計算結果を選びなさい。",
"choices": [
"$6375$",
"$6377$",
"$6373$",
"$6385$"
],
"hint": "平方を計算して差を求めます。",
"explanation": "$6400-25$=$6375$です。"
}
],
"hint": "和と差の積の形に直してから計算します。",
"explanation": "乗法公式を利用すると大きな数の積も途中式を追って計算できます。"
},
{
"id": "5",
"type": "solutionSequence",
"label": "乗法公式の利用",
"question": "$21×19$を乗法公式を使って計算しなさい。途中式を順に選びなさい。",
"expression": "$21×19$",
"steps": [
{
"id": "1",
"expression": "$21×19$",
"prompt": "和と差の積になる表し方を選びなさい。",
"choices": [
"$(20+1)(20-1)$",
"$(20+1)^{2}$",
"$(20-1)^{2}$",
"$21×19$"
],
"hint": "基準となる数から同じだけ大きい数・小さい数に分けます。",
"explanation": "$21×19$は$(20+1)(20-1)$と表せます。"
},
{
"id": "2",
"expression": "$(20+1)(20-1)$",
"prompt": "平方の差を使った式を選びなさい。",
"choices": [
"$20^{2}-1^{2}$",
"$400-1$",
"$20^{2}+1^{2}$",
"$400+1$"
],
"hint": "$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$を使います。",
"explanation": "$20^{2}-1^{2}$です。"
},
{
"id": "3",
"expression": "$20^{2}-1^{2}$",
"prompt": "計算結果を選びなさい。",
"choices": [
"$399$",
"$401$",
"$397$",
"$409$"
],
"hint": "平方を計算して差を求めます。",
"explanation": "$400-1$=$399$です。"
}
],
"hint": "和と差の積の形に直してから計算します。",
"explanation": "乗法公式を利用すると大きな数の積も途中式を追って計算できます。"
},
{
"id": "6",
"type": "choice",
"label": "式の値",
"question": "$x=8$のとき$(x+1)^{2}-(x-1)^{2}$の値を選びなさい。",
"choices": [
"$32$",
"$16$",
"$34$",
"$30$"
],
"hint": "二つの二乗を展開してからまとめます。",
"explanation": "差を整理すると$4x$。代入して$32$です。"
},
{
"id": "7",
"type": "choice",
"label": "式の値",
"question": "$x=7$のとき$(x+2)^{2}-(x-2)^{2}$の値を選びなさい。",
"choices": [
"$56$",
"$28$",
"$64$",
"$48$"
],
"hint": "二つの二乗を展開してからまとめます。",
"explanation": "差を整理すると$8x$。代入して$56$です。"
},
{
"id": "8",
"type": "choice",
"label": "式の値",
"question": "$x=4$のとき$(x+3)^{2}-(x-3)^{2}$の値を選びなさい。",
"choices": [
"$48$",
"$24$",
"$66$",
"$30$"
],
"hint": "二つの二乗を展開してからまとめます。",
"explanation": "差を整理すると$12x$。代入して$48$です。"
},
{
"id": "9",
"type": "choice",
"label": "式の値",
"question": "$x=5$のとき$(x+4)^{2}-(x-4)^{2}$の値を選びなさい。",
"choices": [
"$80$",
"$40$",
"$112$",
"$48$"
],
"hint": "二つの二乗を展開してからまとめます。",
"explanation": "差を整理すると$16x$。代入して$80$です。"
},
{
"id": "10",
"type": "choice",
"label": "整数の性質",
"question": "整数$n$について$(n+1)^{2}-n^{2}$を整理した式を選びなさい。",
"choices": [
"$2 n + 1$",
"$n + 1$",
"$2 n - 1$",
"$1$"
],
"hint": "展開して同類項をまとめます。",
"explanation": "展開すると$n^{2}+2n+1-n^{2}$なので$2 n + 1$です。"
},
{
"id": "11",
"type": "choice",
"label": "整数の性質",
"question": "整数$n$について$(n+2)^{2}-n^{2}$を整理した式を選びなさい。",
"choices": [
"$4 n + 4$",
"$2 n + 4$",
"$4 n - 4$",
"$4$"
],
"hint": "展開して同類項をまとめます。",
"explanation": "展開すると$n^{2}+4n+4-n^{2}$なので$4 n + 4$です。"
},
{
"id": "12",
"type": "choice",
"label": "整数の性質",
"question": "整数$n$について$(n+3)^{2}-n^{2}$を整理した式を選びなさい。",
"choices": [
"$6 n + 9$",
"$3 n + 9$",
"$6 n - 9$",
"$9$"
],
"hint": "展開して同類項をまとめます。",
"explanation": "展開すると$n^{2}+6n+9-n^{2}$なので$6 n + 9$です。"
},
{
"id": "13",
"type": "choice",
"label": "正方形の面積差",
"question": "一辺が$x+1$cmと$x-1$cmの正方形です。$x=6$のとき、大きい面積から小さい面積を引いた値を選びなさい。単位は$cm^{2}$です。",
"choices": [
"$24$",
"$12$",
"$26$",
"$22$"
],
"hint": "面積は辺の長さの二乗です。",
"explanation": "面積差は$(x+1)^{2}-(x-1)^{2}=4x$。代入して$24$です。",
"visual": {
"kind": "geometry",
"points": [
{
"id": "A",
"x": 50,
"y": 50,
"showLabel": false
},
{
"id": "B",
"x": 230,
"y": 50,
"showLabel": false
},
{
"id": "C",
"x": 230,
"y": 230,
"showLabel": false
},
{
"id": "D",
"x": 50,
"y": 230,
"showLabel": false
}
],
"polygons": [
{
"points": [
"A",
"B",
"C",
"D"
] }
],
"labels": [
{
"x": 140,
"y": 30,
"text": "x+1"
},
{
"x": 248,
"y": 140,
"text": "x+1"
}
],
"alt": "長方形。辺の条件は本文に示す。"
}
},
{
"id": "14",
"type": "choice",
"label": "正方形の面積差",
"question": "一辺が$x+2$cmと$x-2$cmの正方形です。$x=8$のとき、大きい面積から小さい面積を引いた値を選びなさい。単位は$cm^{2}$です。",
"choices": [
"$64$",
"$32$",
"$72$",
"$56$"
],
"hint": "面積は辺の長さの二乗です。",
"explanation": "面積差は$(x+2)^{2}-(x-2)^{2}=8x$。代入して$64$です。",
"visual": {
"kind": "geometry",
"points": [
{
"id": "A",
"x": 50,
"y": 50,
"showLabel": false
},
{
"id": "B",
"x": 230,
"y": 50,
"showLabel": false
},
{
"id": "C",
"x": 230,
"y": 230,
"showLabel": false
},
{
"id": "D",
"x": 50,
"y": 230,
"showLabel": false
}
],
"polygons": [
{
"points": [
"A",
"B",
"C",
"D"
] }
],
"labels": [
{
"x": 140,
"y": 30,
"text": "x+2"
},
{
"x": 248,
"y": 140,
"text": "x+2"
}
],
"alt": "長方形。辺の条件は本文に示す。"
}
},
{
"id": "15",
"type": "choice",
"label": "正方形の面積差",
"question": "一辺が$x+3$cmと$x-3$cmの正方形です。$x=7$のとき、大きい面積から小さい面積を引いた値を選びなさい。単位は$cm^{2}$です。",
"choices": [
"$84$",
"$42$",
"$102$",
"$66$"
],
"hint": "面積は辺の長さの二乗です。",
"explanation": "面積差は$(x+3)^{2}-(x-3)^{2}=12x$。代入して$84$です。",
"visual": {
"kind": "geometry",
"points": [
{
"id": "A",
"x": 50,
"y": 50,
"showLabel": false
},
{
"id": "B",
"x": 230,
"y": 50,
"showLabel": false
},
{
"id": "C",
"x": 230,
"y": 230,
"showLabel": false
},
{
"id": "D",
"x": 50,
"y": 230,
"showLabel": false
}
],
"polygons": [
{
"points": [
"A",
"B",
"C",
"D"
] }
],
"labels": [
{
"x": 140,
"y": 30,
"text": "x+3"
},
{
"x": 248,
"y": 140,
"text": "x+3"
}
],
"alt": "長方形。辺の条件は本文に示す。"
}
}
] }